今天我们来讨论一下自然数平方和公式：
1^2+2^2+3^2+…+n^2=？
如果只是证明这个公式，问题就很简单，我们直接利用数学归纳法即可证明。
求证：1^2+2^2+3^2+…+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6
证明：方法一（数学归纳法）
1.当n=1时
左边=1^2=1
右边=1×(1+1)×(2×1+1)/6
=1×2×3/6=6/6=1
左边=右边，等式成立
2.假设当n=k时，等式也成立
1^2+2^2+3^2+…+k^2
=k(k+1)(2k+1)/6
3.当n=k+1时
左边=1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2
=(1^2+2^2+3^2+…+k^2)+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2]/6
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
右边=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
左边=右边，等式依然成立
所以，对所有n∈N*，都有
1^2+2^2+3^2+…+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6，证毕！
但是，如果我们并不知道这个结论，而是来推出这个公式，问题的难度就大多了。
我们首先回顾一下完全立方公式：
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
求：1^2+2^2+3^2+…+n^2=?
解：方法二（传统经典求法）
令Sn=1^2+2^2+3^2+…+n^2
(1+n)^3=1+3n+3n^2+n^3
2^3=(1+1)^3=1+3×1+3×1^2+1^3
3^3=(1+2)^3=1+3×2+3×2^2+2^3
4^3=(1+3)^3=1+3×3+3×3^2+3^3
…………
(1+n)^3=1+3n+3n^2+n^3
将以上等式的左右两边相加：
2^3+3^3+…+n^3+(n+1)^3=
n+3(1+…+n)+3(1^2+…+n^2)
+(1^3+2^3+…+n^3)
(n+1)^3=n+3n(n+1)/2+3Sn+1
3Sn=(n+1)^3-n-3n(n+1)/2-1
=[2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1)]/2
=(n+1)[2(n+1)^2-2-3n]/2
=(n+1)(2n^2+n)/2
=n(n+1)(2n+1)/2
3Sn=n(n+1)(2n+1)/2
Sn=1^2+2^2+3^2+…+n^2
=n(n+1)(2n+1)/6
除了以上经典求法外，今天我再介绍一种突破思维天际的好方法。
求：1^2+2^2+3^2+…+n^2=?
解：方法三（突破思维天际）
首先根据等差数列求和公式，很容易证明：
n^2=1+3+5+…+(2n-1)
1^2=1
2^2=1+3
3^2=1+3+5
…………
n^2=1+3+5+…+(2n-1)
1^2+2^2+3^2+…+n^2
=1+(1+3)+(1+3+5)+…
+[1+3+5+…+(2n-1)]
=n+3(n-1)+5(n-2)+…+(2n-1)
3(1^2+2^2+3^2+…+n^2)
=2[n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+…+1^2]
+[n+3(n-1)+5(n-2)+…+(2n-1)]
=(2n^2+n)+[2(n-1)^2+3(n-1)]+
[2(n-2)^2+5(n-2)]+…+[2+(2n-1)]
=n(2n+1)+(n-1)(2n+1)+…+(2n+1)
=(1+2+3+…+n)(2n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2
3(1^2+2^2+3^2+…+n^2)
=n(n+1)(2n+1)/2
1^2+2^2+3^2+…+n^2
=[n×(n+1)×(2n+1)]/6
