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组合计算公式是怎么推导出来的(二项分布公式的推导和使用)

100次浏览     发布时间:2024-08-04 14:45:59    


  1. 一次试验有且仅有两种可能结果:“成功”和“失败”,两个结果是随机决定且互斥的。

  2. 每次试验中,成功的概率是P,失败的概率是1-P,并且成功和失败的概率是常数或近似于不变

  3. 各次试验之间相互独立,每次试验结果不受其它各次试验结果的影响。

下面以高考一道数学单选选择题作为例子,完成二项分布公式的推导,也希望借此能够告诉大家在生活中如何使用二项分布。

数学知识都忘得差不多了,在这里我们也并不是要得出正确答案,但我们可以知道的几个事实是:

  1. 每道选择题都只有一个正确答案,其他三个为错误答案,每道题做题的结果只有正确和错误两种;

  2. 每道题做对的概率为0.25,做错的概率为0.75,它们的概率只和为1;

  3. 每道题相互独立、互不影响。

这就是一个二项分布的实际生活问题,先用概率树画出做题结果的分布情况:

概率树

通过《每天一点统计学——排列与组合》中学到的知识,我们很容易得出下面的结果:

其中X表示总题数,r表示做对的题数,P(X=r)表示在总题数X中做对r道题数的概率

在三道选择题中做对r道题,这其实是一个组合问题,从P(X=r)中是不是发现了什么规律了呢?

3道题中做对r道题的概率计算公式

二项分布公式

假设每道题的答对概率是p,而每道题答错概率是1-p,也就是q。而答对n个问题中的r个问题的概率为:

二项分布公式

回顾一下组合的计算公式:

组合

二项分布的期望和方差

再顺便提及以下二项分布期望和方差的计算公式,方差可以代表数据的变异性,而期望可以对决策做出指导作用:

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